Фогель Борис Александрович родился 18 января 1872 года в городе Темир-Хан-Шуре (ныне Буйнакск).
В 1882 году пошёл во 2-ю мужскую гимназию. С первого класса занимался рисунком у А. В. Захарова, воспитанника Строгановского училища. Продолжал занятия живописью, пользуясь советами В. Поленова, В. Маковского, К. Коровина, С. Коровина. Около года занимался в частной студии у Л. Пастернака, с которым впервые писал декорации к опере А. С. Аренского «Рафаэль», написанной в 1894 году для Всероссийского съезда художников и открытия Третьяковской галереи.
После университета в 1896 году по совету В. Маковского Фогель едет в Париж, где занимается в частной академии Жульена под руководством Жан-Поль Лорана и Бенжамен Констана. Участвует в выставках «Русского общества художников» и салона «Марсово Поле». В 1897 возвратился в Петербург и поступил в Высшее художественное училище при Императорской Академии художеств. Занимался у П. О. Ковалевского, И. Е. Репина.
В 1902 окончил Академию, удостоившись звания классного художника I степени за картину «Вечер».
После окончания Академии вернулся в Тифлис, где работал как художник и педагог. Преподавал в 1-й мужской и женской гимназиях и в школе живописи и скульптуры при Кавказском Обществе поощрения изящных искусств. Одновременно продолжал участвовать в выставках петербургского «Нового общества художников», одним из основателей которого являлся.
В 1905 на очередной выставке «Нового общества художников» в Петербурге получил премию имени В. Д. Поленова за картину «Свежеет».
После революции и установления в Грузии советской власти руководил в Тбилиси художественной студией при Доме Красной Армии, затем Высшими государственными художественно-техническими мастерскими вплоть до их преобразования в Академию художеств Грузии, где был профессором живописи и деканом живописного факультета.
С 1934 года по приглашению И. Бродского Б. Фогель занимал место профессора в ЛИЖСА. Параллельно участвовал в выставках ленинградских художников. По заказу Ленизо исполнил для Мурманского музея картины «Северный Арктический флот» и "Приход в Мурманск ледореза «Литке».
В июне 1941 в Тициановском зале Академии художеств в Ленинграде открылась персональная выставка произведений Бориса Фогеля, на которой экспонировались 150 картин и этюдов художника, среди них картины «Свежеет», «Роскошной Грузии долина», этюды Кахетии, Крыма, Грузии. Из-за начавшейся войны выставка вскоре была закрыта, большая часть работ пропала в блокаду.
После войны преподавал в ЛИЖСА имени И. Е. Репина. С 1947 работал с.н.с. лаборатории технологии художественных материалов при Академии художеств, продолжая по совместительству педагогическую деятельность, а также творческую работу в жанре пейзажа и натюрморта. Участвовал в выставках ленинградских художников до конца 1950-х годов.
Фогель Борис Александрович скончался в 1961 году в Ленинграде на девяностом году жизни.
Его произведения находятся в Русском музее, в музеях и частных собраниях в России и за рубежом.